Rentrée 2009 du Programme d'approfondissement

La rentrée du programme d'approfondissement a lieu du Dimanche 13 septembre 2009 au soir au jeudi 17 septembre au soir, à Hyères (Var) (Hôtel « Le Continental » Rue Victor Basch 83400 Hyères Tél. : 04 94 12 68 68 Fax : 04 94 12 68 78). La présence est impérative. Une série de 4 mini-cours sur des sujets variés sont donnés. Ils sont destinés d'abord à donner un aperçu aussi large que possible de mathématiques variées et modernes. Ils ont ensuite vocation à mieux se connaître et à pouvoir discuter entre élèves et professeurs de vos projets, de vos goûts scientifiques afin de mieux préparer cette année plus spécialisée du cursus polytechnicien. Des exposés d'élèves volontaires sont programmés en soirée. Les sujets sont variés. Ils ont pour but de permettre tant aux orateurs qu'aux auditeurs de découvrir de façon plus approfondie des aspects des mathématiques. Et puis la mer, chaude en cette saison, est à deux pas : ne pas oublier vos maillots de bains !

J'invite vivement les participants intéressés à contacter David Renard (renard@math.polytechnique.fr) afin de choisir un thème d'exposé qui sera présenté en soirée.
Description sommaire

Mini-cours (journée)

David Renard (CMLS, Ecole Polytechnique) Les octaves de Cayley

Il n'y a que 4 algèbres à division normées sur le corps des réels : les réels, les complexes, les quaternions et les octonions (ou octaves de Cayley). Si les quaternions peuvent sembler vaguement excentriques, avec leur produit non commutatif, que dire des octonions, dont le produit n'est pas associatif? Comme leur nom ne l'indique pas, les octaves de Cayley furent inventés par Graves en 1843, et retombèrent pour un long moment dans l'oubli...
L'intéret "moderne" qui ressurgit concernant les octonions provient du fait que leur existence permet d'expliquer nombre de structures exceptionnelles en mathématiques. Ils possèdent aussi des relations fascinantes avec la topologie algébrique, en particulier avec un phénomène appelé "périodicité de Bott".

Sylvia Serfaty (Paris 6) Jeux et EDP

Le but de ce cours est de décrire les correspondances qui existent entre les solutions de certaines classes de jeux différentiels ou stochastiques et les solutions de certaines classes d'équations aux dérivées partielles, via la théorie du "contrôle optimal" ou du "contrôle stochastique".

David Harari (Département de Mathématiques, Université d'Orsay) Quelques équations en nombres entiers

Déterminer si une équation polynomiale à coefficients entiers possède une solution est un problème en général très difficile.
On expliquera comment des considérations de congruences et de « loi de réciprocité » (telle que la loi de réciprocité quadratique) permettent d’obtenir des informations fines sur ce type de problèmes. En particulier, on appliquera ces méthodes aux équations quadratiques.

Philippe Biane (Université Marne la Vallée) Matrices à signes alternants

Une matrice à signes alternants est une matrice composée de 0,1 et -1 telle que
dans chaque ligne et dans chaque colonne les 1 et les -1 alternent, la somme de
chaque ligne et de chaque colonne étant égale à 1, par exemple

            0  1  0 0
            1 -1  0 1
            0  0  1 0
            0  1  0 0
Ces matrices ont été introduites au début des années 80 pour exprimer une généralisation du déterminant.

Très vite de nombreuses conjectures relatives à leur énumération ont été produites, qui se sont révélées être des problèmes de combinatoire difficiles et profonds.
En particulier leur nombre est donné par un produit de factorielles et d'inverses de factorielles.
Les premiers termes sont p(1)=1,p(2)=2, ... 7,42,429,... et on a la récurrence
p(n+1)/p(n)=(3n+1)!n!/(2n)!(2n+1)!

Une preuve compliquée de ces conjectures a été donnée par Zeilberger en 1993 (80 pages de calculs), mais peu après Kuperberg a trouvé une démonstration courte utilisant les travaux de physiciens théoriciens en mécanique statistique. Au début des années 2000, ces matrices ont réapparu dans la conjecture de Razumov-Stroganov en liaison avec les configurations de boucles compactes. Ce problème est toujours ouvert et suscite de nombreux travaux.

Je donnerai un exposé des principales propriétés de ces objets, ainsi que la
preuve de Kuperberg, et j'énoncerai la conjecture de Razumov-Stroganov.

Planning indicatif