Projets
Scientifiques Collectifs au
Département de Mathématiques
- Pourquoi
un PSC en
mathématiques?
- Quelques
pistes pour des thèmes de
PSC en mathématiques
- Les
géométries non-euclidiennes
- Modélisation de phénomènes physiques
- La courbure comme
outil d'analyse de l'espace continu ou plus singulier
- Le son et la forme
- Les
matrices aléatoires
- La
méthode
de Newton de résolution d'équations, approximations
successives et dynamique
- Des nombres p-adiques à
la résolution d'équations diophantiennes
- Le
théorème d'inversion locale et des fonctions implicites
- Dynamiques
chaotiques: théorie et simulations
- Chaos en
mécanique classique
- Dynamique et
théorie des nombres
- Réseaux
- Analyse et arithmétique
- Théorie
des groupes: ses applications dans tous les domaines des arts et des
sciences.
- Codes de recouvrement
- Transversalité
- Opérateurs bornés
dans L2
- Géométrie
semi-algébrique, transversalité et robotique
- Equations de
Navier-Stokes
- Autour de
l'opérateur de Laplace
- Stabilite du systeme solaire
- Quelques ressources
sur le web
- Documents officiels
Pourquoi un PSC en
mathématiques?
Le Projet Scientifique Collectif en mathématiques est l'occasion de mettre à profit
les connaissances acquises au cours de la scolarité pour découvrir des mathématiques vivantes,
loin de leur aspect scolaire, et avoir un premier contact avec le monde de la recherche.
Le thème du PSC doit être mathématique ou pluridisciplinaire à dominante
mathématique. Il devra être situé dans une perspective historique
(problème initial, évolution et progrès scientifiques majeurs, nouveaux concepts, retombées,
interactions avec d'autres domaines...). L'état de la
recherche contemporaine pourra être décrit (résultats obtenus par rapport au
questionnement initial, perspectives futures). La part technique du PSC
se présente comme la sélection d'un fragment cohérent dont les démonstrations seront
maîtrisées, éventuellement illustrée par une implémentation informatique. Enfin le travail comportera
une part importante de communication (rapport écrit, présentation vers le "public cultivé" à l'occasion
de la soutenance, exposés plus spécialisés dans le
cadre d'un séminaire).
Pour toute question relatif
au PSC en mathématiques
(démarche, sujets, tuteurs,...), merci de me contacter:
laszlo@math.polytechnique.fr
(coordinateur)
Quelques
pistes pour des thèmes de
PSC en mathématiques
Avertissement. La
liste
ci-dessous n'est aucunement
limitative ou exhaustive (si vous êtes déjà
attiré par un domaine ou une question, c'est encore mieux) mais
se veut plus
simplement un point de départ pour la réflexion des
groupes cherchant un thème mathématique approprié
à un travail en PSC.
Modélisation de phénomènes physiques
L'idée de ce projet serait de découvrir un certain nombre de domaines
ou la modélisation de phénomènes physiques de la vie quotidienne se fait
par l'intermédiaire
d'équations différentielles ordinaires ou d'équations aux dérivées
partielles et de comprendre
comment des propriétés qualitatives de ces équations permettent
d'expliquer des phénomènes observables. On pourra s'interesser par
exemple à la formation des dunes de sables,
au mouvement des avalanches, à la propagation des épidemies, au traffic
routier, à la propagation des flammes ou aux supersolides.
Amandine Aftalion
Les
géométries non-euclidiennes
Pendant deux millénaires,
la
seule géométrie concevable était la
géométrie dont Euclide avait défini les fondements
dans ses "Éléments". Les tentatives pour prouver que le
postulat des parallèles était superflu a mobilisé
beaucoup de mathématiciens pour finalement déboucher sur
la découverte de géométries non-euclidiennes par
Nicolas Lobachewski et Janos Bolyai. Le concept fondamental qui est
sous-jacent est celui de courbure intrinsèque qui a
été découvert par Carl Friedrich Gauß, et
qui a trouvé plus d'un siècle plus tard une superbe
utilisation dans la théorie de la Relativité
Générale.
Jean-Pierre
Bourguignon
La courbure comme
outil d'analyse de l'espace continu ou plus singulier
La courbure, qui est un invariant local d'une métrique,
permet
de contrôler la géométrie des distances des parties
lisses de l'espace mais aussi de détecter les points singuliers
(exemple des trous noirs dans les modèles relativistes).
Jean-Pierre
Bourguignon
Le son et la forme
L'énergie de vibration d'un système, par exemple une
peau
de tambour qu'on peut assimiler à un domaine dans le plan, se
répartit sur les harmoniques qui correspondent aux valeurs
propres de l'opérateur de Laplace. Or ces valeurs propres
dépendent de la géométrie d'un domaine et des
conditions aux limites. Un certain nombre de résultats comme le
théorème de Faber-Krahn relie le son fondamental du
tambour à sa forme. Plusieurs questions ouvertes demeurent comme
par exemple le fameuse question posée par Marc Kac "Peut-on
entendre la forme d'un tambour ?".
Jean-Pierre
Bourguignon
Les
matrices aléatoires
Les matrices aléatoires interviennent aujourd'hui dans de
nombreux domaines des sciences physiques et mathématiques, aussi
bien en statistiques, en physique quantique, en théorie des
algèbres d'opérateurs ou même en théorie des
nombres (à travers les liens avec la fonction zêta de
Riemann).
Philippe
Biane
La
méthode
de Newton de résolution d'équations, approximations
successives et dynamique
Il s'agit de rappeler une méthode classique de
résolution
de l'équation f(x)=0 (f de classe C^1) par itérations en
partant d'un point x_0 où la valeur de f est petite mais sa
dérivée grande. Posé globalement ce
problème débouche sur des questions actuelles de la
théorie des systèmes dynamiques, notamment dans le
domaine complexe.
Jacques
Tilouine, Jérôme Buzzi
Des nombres p-adiques à
la résolution d'équations diophantiennes
On introduit une nouvelle topologie sur Q pour laquelle "petit"
veut
dire très divisible par un nombre premier fixé p. Elle
provient d'une valeur absolue ultramétrique, ce qui fournit une
nouvelle géométrie avec laquelle on doit se familiariser.
Le lemme de Hensel transpose à ce nouveau contexte la
méthode
de Newton, dans le but de résoudre des équations
polynomiales à coefficients rationnels avec des solutions
p-adiques (le but ultime est de trouver des solutions elles aussi
rationnelles).
Jacques
Tilouine
Le
théorème d'inversion locale et des fonctions implicites
On montre comment ce théorème convenablement
généralisé permet d'établir des
théorèmes fondamentaux de l'analyse ou de la dynamique.
Jacques
Tilouine, Jérôme Buzzi
Dynamiques
chaotiques: théorie et simulations
Les dynamiques chaotiques sont souvent étudiées par
le
biais de simulations alors que leur caractère chaotique
empêche d'en calculer correctement... une seule orbite!
Après s'être familiarisé avec les résultats
théoriques fondamentaux (qui sont bien établis dans le
cas "fortement chaotique"), on fera une comparaison empirique entre
ceux-ci et les résultats de simulations contrôlées.
Ce rapport est beaucoup plus délicat à appréhender
théoriquement et fait l'objet de recherches actuelles.
Jérôme
Buzzi
Chaos en
mécanique classique
On verra ce qu'est le "chaos déterministe" et comment on
peut le
mettre en évidence et l'étudier dans un système
mécanique hamiltonien, par exemple le pendule, grâce
à des techniques combinant analyse fonctionnelle, calcul
analytique et géométrie.
Jérôme
Buzzi
Dynamique et
théorie des nombres
A l'occasion d'un résultat récent (l'existence de
k-uplets de nombres premiers équidistants pour tout entier
positif k), on verra comment des outils ou des idées issues de
la dynamique permettent de résoudre certaines questions de
théorie des nombres.
Jérôme
Buzzi
Réseaux
Les réseaux
interviennent dans de mutiples domaines des mathématiques, comme les
empilements de sphères, les groupes cristallographiques, les algèbres
de Lie, les courbes elliptiques... Les questions qui se posent vont de la
théorie à l'algorithmique. On cherchera à donner un
aperçu de la diversité et de la profondeur des
mathématiques en jeu.
Yves
Laszlo
Analyse et arithmétique
Un nombre entier est aussi un nombre réel, complexe
même ! Cette remarque anodine est à la base de
méthodes d'investigation profondes (théorème des
nombres premiers, nombre de décomposition d'un entier en somme
de carrés,
équirépartition de suites, transcendance...). On
dégagera un certain nombre d'exemples illustrant la puissance de
l'analyse comme outil arithmétique.
Yves
Laszlo
Théorie
des groupes: ses applications dans tous les domaines des arts et des
sciences.
La théorie des groupes de symétrie et de leurs
représentations trouve des applications dans tous les domaines
des arts et des sciences: pavages, optimisation,
cristallographie, règles de sélection en chimie
quantique, équation de Dirac, théories de jauge , pour en
citer quelques-uns. Ce sujet permet un travail vraiment collectif.
Nicole
Berline
Codes de recouvrement
Étant donnés les entiers q et n, on désigne
par
H_q^n l'hypercube {0,...,q-1}^n. La distance de Hamming entre deux
points de H_q^n est définie comme le nombre de
coordonnées qui diffèrent.
Un code couvrant q-aire de longueur n pour le rayon R est un ensemble C
de points de H_ q^n tel que tout point est à distance au plus R
de C. La taille minimale d'un tel code est usuellement notée
K_q(n,R), et les codes correspondant sont appeles codes optimaux. Ils
n'ont aucune raison d'etre "simples" et en pratique on se contente de
trouver des bornes pour K_q(n,R).
Pour obtenir des bornes supérieures pour K_q(n,R), on cherche a
construire des codes couvrants explicites. L'objectif du travail
propose est de parvenir a faire de telles constructions en utilisant
des méthodes de recherche
locale (type recuit simulé ou algorithme genetique).
Ce sujet peut être vu au choix comme des mathématiques
expérimentales ou de l'informatique théorique...
Alain
Plagne
Transversalité
La transversalité est une
notion fondamentale de la topologie différentielle. Les concepts
mathématiques utilisés par cette théorie sont
très simples: deux courbes lisses dans le plan se
coupent de façon transverse si en chaque point commun, les
tangentes
aux deux courbes sont distinctes. Cette notion se
généralise considérablement. Sa force
réside en un mélange astucieux d'analyse,
d'algèbre linéaire et de topologie
élémentaire, qui permet, avec un minimum d'effort,
d'obtenir des resultats étonnants en analyse, en
géométrie, en dynamique,...
Andrei Moroïanu
Opérateurs bornés
dans L2
Il s'agit d'opérateurs du
type u
|---> intégrale de K(x,y)u(y) dy (ou de matrices infinies
pour l^2). Si K est une fonction positive, il existe de bons
critères pour que l'opérateur applique continûment
L^2 dans L^2. Dans le cas général, une
caractérisation est hors d'atteinte et on recherche des
conditions suffisantes efficaces et bien adaptées à
divers types de problèmes d'analyse.
Cette problématique qui remonte à Hilbert et qui a
été illustrée par Calderon et Zygmund a
connu des développements importants dans les dernières
décennies. Elle a permis de résoudre plusieurs
problèmes de premier plan en analyse harmonique, en
analyse complexe et en théorie des équations aux
dérivées partielles.
Jean-Michel Bony
Géométrie
semi-algébrique, transversalité et robotique
La géométrie semi-algébrique étudie
les parties de R^n définies par des inégalités
polynomiales. Ces objets, déjà dignes
d'intérêts en eux-mêmes, ont grâce à
leur caractère mêlant flexibilité et
rigidité, des applications aussi bien mathématiques
(où ils apparaissent comme approximations d'objets hautement
différentiables et donnent lieu à des versions
quantitatives de théorèmes classiques tel le
théorème de Sard) qu'extra-mathématiques (par
exemple le problème du contrôle de bras mécaniques
au milieu d'obstacles).
Jérôme
Buzzi
Equations de
Navier-Stokes
La compréhension de cette équation fondamentale de
la dynamique des fluides est un des grands problèmes de la
physique mathématique d'aujourd'hui. Le problème central
(qui figure d'ailleurs parmi les sept
problèmes Clay) est de savoir si les solutions de cette
équation peuvent développer une singularité en
temps fini. On partira de l'article fondateur de Jean Leray (1933)
établissant l'existence de solutions ``turbulentes'' à
ces équations (c'est le premier théorème
d'existence pour ce système) avant d'aborder des articles plus
récents. Ce thème se prête également
à une étude numérique.
Isabelle
Gallagher
Autour de
l'opérateur de Laplace
L'opérateur de Laplace a une longue histoire et les
fonctions harmoniques ont de profondes propriétés: lien
avec les fonctions holomorphes, formule de la moyenne, principe du
maximum. On pourra ensuite aborder les équations
elliptiques: diverses formes du principe du maximum,
inégalité de Harnack, estimations a priori.
Amandine Aftalion
Stabilite du systeme
solaire
Newton ne pensait pas que la loi de la gravitation universelle
suffisait a expliquer l'absence de changements qualitatifs dans le
systeme solaire au cours de sa tres longue histoire. Laplace avait
obtenu des resultats tres partiels pointant vers une telle "stabilite
du systeme solaire". Mais c'est Poincare qui a la fin du
XIXeme siecle inaugure l'etude moderne de ce probleme qui ne recoit une
reponse de principe que dans les annees 1960 a travers la theorie de
Kolmogorov-Arnold-Moser qui combine geometrie, analyse, probabilites et
theorie des nombres. L'applicabilite de cette theorie au systeme
solaire fait encore l'objet de travaux actuels (nouveaux theoremes,
versions explicites, etudes numeriques).
Jerome
Buzzi
Mise à jour en cours.
Yves Laszlo, coordinateur PSC pour le Département
de Mathématiques