UMR 7640 du CNRS

Journées mathématiques X-UPS
Mercredi 14 et jeudi 15 mai 2008

Géométrie tropicale

Résumés

 

Ilia Itenberg : Introduction à la géométrie tropicale

Le but de ces deux exposés est de donner une introduction à la géométrie tropicale, un nouveau domaine de mathématiques qui a connu un progrès spectaculaire durant les huit dernières années. La géométrie tropicale a des liens multiples et profonds avec des nombreuses branches de mathématiques, tant en mathématiques pures qu'en mathématiques appliquées. En géométrie tropicale, les objets algébro-géométriques sont remplacés par des objets affines par morceaux. Par exemple, les courbes tropicales planes sont des graphes rectilignes dont les arêtes ont des pentes rationnelles. Nous allons présenter des notions de base et les premiers résultats de la géométrie tropicale en nous concentrant principalement sur les courbes tropicales dans le plan.

Erwan Brugallé : Applications de la géométrie tropicale en géométrie énumérative

La géométrie énumérative est la branche des mathématiques qui répond à des questions comme:
- "Combien de droites passent par 2 points dans le plan?" (facile),
- "Combien de coniques passent par 5 points dans le plan?" (facile),
- "Combien de cubiques (i.e. courbes définies par un polynôme de degré 3) avec un point double passent par 8 points dans le plan?" (moins facile),
- ...

Si l'on compte les courbes définies par des polynômes à coefficients complexes, alors le nombre de courbes ne dépend pas de la configuration de points choisie, tout comme le nombre de racines complexes d'un polynôme à coefficients complexes est toujours égal à son degré. En revanche, si l'on compte les courbes définies par des polynômes à coefficients réels, ce nombre dépend fortement des points choisis... J.Y. Welschinger a montré qu'en comptant les courbes réelles avec un signe +1 ou -1, on obtient un nombre indépendant de la configuration de points choisie et qui donne une borne inferieure sur le nombre de courbes réelles quelle que soit la configuration. On peut jouer au même jeux en géométrie tropicale, et un théorème très profond de G. Mikhalkin nous dit que l'on peut compter des courbes complexes ou réelles en comptant des courbes tropicales. Or, il est beaucoup plus facile de compter des courbes tropicales, objets affines par morceaux, que de "vraies" courbes algébriques! J'expliquerai plus précisement dans ces deux exposé les problèmes énumératifs considérés, puis j'expliquerai comment résoudre la version tropicale.

Bernard Teissier : Amibes non archimédiennes et géométrie tropicale

Rappelons qu'une norme non archimédienne sur un corps K est la donnée d'une application a -> |a| de K dans R_+ telle que:
1) |a|=0 si et seulement si a=0,
2) On a, pour tous a, b dans K, l'égalité |ab| = |a| |b|,
3) |a+b| est inférieur ou égal à max(|a|, |b|).

Une telle norme s'étend en une norme non archimédienne d'une clôture algébrique L de K. Le premier exemple est le corps Q_p des nombres p-adiques, mais nous considérerons surtout au corps des séries de Puiseux à coefficients dans un corps k de caractéristique zéro. C'est la clôture algébrique de l'anneau des séries de Laurent. Revenant à notre corps K et à sa clôture algébrique L, nous voulons comprendre la géométrie des sous-ensembles de l'espace vectoriel de dimension d sur le corps L définis par des équations polynomiales, appelés ensembles algébriques. Pour un tel ensemble algébrique, nous nous restreindrons à la partie sur laquelle toutes les coordonnées sont non nulles et notre outil sera l'application Log, à valeurs dans l'espace euclidien de dimension d, qui prend le logarithme de la norme non archimédienne des coordonnées. Nous verrons que l'image d'un tel sous-ensemble algébrique par l'application Log est un polyèdre de l'espace euclidien, relevant de la géométrie tropicale et contenant beaucoup d'information sur ce sous-ensemble.