UMR 7640 du CNRS

Journées mathématiques X-UPS
Lundi 17 et mardi 18 mai 2010

Quelques facettes mathématiques
de la mécanique des fluides incompressibles

Résumé

 

Le but de cette série d'exposés est d'offrir un panorama des recherches mathématiques en mécanique des fluides.

Nous commencerons par établir les équations d'Euler d'un fluide incompressible non-visqueux, puis introduirons les équations de Navier-Stokes d'un fluide visqueux, à partir du paradoxe de d'Alembert.

Ensuite, nous construirons des solutions de l'équation de Navier-Stokes, d'une part à l'aide des méthodes de compacité (comme pour le théorème de Peano sur les équations différentielles ordinaires), d'autre part à l'aide de méthodes de point fixe (comme pour le théorème de Cauchy-Lipschitz).

Nous aborderons le problème de la régularité globale des solutions pour tout temps, qui est l'un des sept « Millenium problems », au même titre que la conjecture de Poincaré tout juste résolue.

Puis, nous exposerons les mathématiques qui se cachent derrière le paradoxe suivant: « une boule plongée dans un fluide visqueux ne touche pas le fond ».

Nous étudierons ensuite le passage à la limite de Navier-Stokes vers Euler lorsque la viscosité tend vers zéro. Nous mettrons en évidence l'influence de la géométrie des bords du domaine. Sur ce problème très difficile, des progrès importants ont été faits dans le cadre des fluides en rotation rapide qui sont un bon modèle de fluides géophysiques.

Nous terminerons par la présentation de résultats inattendus de passage à la limite dans ce cadre.