Journées mathématiques X-UPS
Lundi 17 et mardi 18 mai 2010
Quelques facettes mathématiques
de la mécanique des fluides incompressibles
Résumé
Le but de cette
série d'exposés est d'offrir un panorama des recherches
mathématiques en mécanique des fluides.
Nous commencerons
par établir les équations d'Euler d'un fluide
incompressible non-visqueux, puis introduirons les équations de
Navier-Stokes d'un fluide visqueux, à partir du paradoxe de
d'Alembert.
Ensuite, nous
construirons des solutions de
l'équation de Navier-Stokes, d'une part à l'aide des
méthodes de compacité (comme pour le
théorème de Peano sur les équations
différentielles ordinaires), d'autre part à l'aide de
méthodes de point fixe (comme pour le théorème de
Cauchy-Lipschitz).
Nous aborderons le
problème de la
régularité globale des solutions pour tout temps, qui est
l'un des sept « Millenium problems », au même titre
que la
conjecture de Poincaré tout juste résolue.
Puis, nous
exposerons les mathématiques qui se cachent derrière le
paradoxe suivant: «
une boule
plongée dans un fluide visqueux ne
touche pas le fond
».
Nous
étudierons ensuite le passage à
la limite de Navier-Stokes vers Euler lorsque la viscosité tend
vers zéro. Nous mettrons en évidence l'influence de la
géométrie des bords du domaine. Sur ce problème
très difficile, des progrès importants ont
été faits dans le cadre des fluides en rotation rapide
qui sont un bon modèle de fluides géophysiques.
Nous
terminerons par la présentation de résultats inattendus
de passage à la limite dans ce cadre.