UMR 7640 du CNRS

Journées mathématiques X-UPS
Lundi 11 et mardi 12 mai 2015

Des problèmes à n corps aux Tokamaks 

Résumés

 


Yann Brenier : Description mathématique des fluides et des plasmas pdf

Résumé : Les fluides et les plasmas peuvent être décrits et analysés par les mathématiques à plusieurs niveaux: comme des systèmes de particules en interaction, ce qui relève des équations différentielles ordinaires et des problèmes à N corps, ou encore comme des "milieux continus" à l'aide du concept de champs (densité, vitesse, pression, champ électro-magnétique), ce qui relève plutôt de l'analyse des fonctions. Ces différents points de vue peuvent être fructueusement unifiés à l'aide du calcul des variations et des principes de moindre action. On verra comment les modèles mathématiques d'Euler pour les fluides (dix-huitième siècle) et de Maxwell pour l'électromagnétisme (dix-neuvième siècle) ont fusionné au vingtième siècle pour aboutir à la Magnétohydrodynamique qui a notamment permis de concevoir les "Tokamaks", tels ITER.

Évelyne Miot : Étude du système dynamique de N tourbillons ponctuels pdf

Résumé : Ces exposés auront pour objet l'étude de la dynamique d'une classe particulière de fluides, en rotation rapide autour de points appelés tourbillons ponctuels. Selon l'équation d'Euler, établie par ce dernier au dix-huitième siècle, la dynamique des tourbillons ponctuels est régie par un système hamiltonien d'équations différentielles ordinaires. On analysera les propriétés mathématiques de ce système, en se penchant notamment sur les questions d'existence et d'unicité de solutions ; on verra que ces problématiques sont directement reliées à celle de collision entre les trajectoires. On mettra l'accent sur le cas de trois tourbillons ponctuels, pour lequel on développera un exemple explicite de collision en temps fini. Puis, on explorera le cas mixte, à savoir l'interaction de plusieurs tourbillons ponctuels et d'un écoulement régulier, à partir d'un modèle introduit par Marchioro et Pulvirenti dans les années 90.

Jacques Blum : Modélisation et contrôle des plasmas de Tokamak pdf

Résumé : On présentera dans un premier temps les deux approches pour la modélisation d'un plasma (gaz ionisé) en présence d'un champ magnétique: l'approche microscopique basée sur les équations cinétiques (Vlasov, Boltzmann,...) et l'approche macroscopique basée sur les équations de la magnétohydrodynamique (MHD) et comment l'on passe de l'une à l'autre. Pour une machine du type Tokamak qui vise à réaliser la fusion de noyaux d'atomes légers par le principe du confinement magnétique, on montrera qu'il existe des échelles de temps allant de la microseconde (temps d'Alfven) à la seconde (temps de diffusion résistive) et que le modèle peut être simplifié en se plaçant à l'échelle de temps du phénomène qu'on se propose d'étudier. On établira ainsi le principe de l'évolution quasi-statique de l'équilibre du plasma dans un Tokamak et on montrera comment, avec des méthodes numériques appropriées, on peut reconstruire en temps réel l'équilibre du plasma à chaque instant de la décharge (lignes de flux, surfaces magnétiques, densité de courant, frontière libre du plasma,..). Ce problème rentre dans la catégorie des problèmes inverses, qui sont mal-posés au sens d'Hadamard et on montrera comment, à l'aide de techniques mathématiques de régularisation, on peut les rendre bien-posés. On pourra alors aborder le problème du contrôle de l'équilibre du plasma en temps réel, tel qu'il se pose dans chaque Tokamak, en utilisant des bases hilbertiennes associées à l'opérateur aux dérivées partielles qui régit le phénomène. Ce dispositif sera utilisé dans le Tokamak WEST en cours de montage au CEA à Cadarache, qui vise à tester le divertor en tungstène qui sera réalisé pour ITER.