Théorie algébrique des nombres

Cette page rassemble diverses informations sur mon cours de Master 1 à l'École Polytechnique (MAT552).
Le cours (9 séances) a lieu les vendredis de 13h30 à 17h15 en salle 72, du 16/09/2011 au 02/12/2011.
Chaque séance comprend 2 heures de cours et 1h30 de travaux dirigés.
Pas de cours le 28 octobre ainsi que les 11 et 18 novembre.
Les approfondissements ont lieu les mardis après-midi au CMLS, bureau 061011.

Une excellente introduction à ce cours est cet article de Barry Mazur.

Programme du cours :

1. Loi de réciprocité quadratique.
2. Géométrie des nombres.
3. Formes quadratiques binaires entières I.
4. Entiers d'un corps de nombres.
5. Arithmétique des entiers quadratiques imaginaires.
6. Finitude du nombre des classes d'idéaux.
7. Factorisation unique des idéaux.
8. Formes binaires II : composition et genres.
9. La formule du nombre de classes de Dirichlet.

Quelques problèmes de révisions ainsi qu'un corrigé .

Le poly du cours dans son intégralité.

Quelques exercices corrigés du cours 5.
Un errata sur les feuilles distribuées en cours (les versions ci-dessus sont corrigées).
Merci de me signaler toute autre erreur, même un typo génante !

Les références principales pour le cours sont les excellents livres suivants :

K. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, Éd. Jacques Gabay (1801).
K. Ireland & M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer V. GTM 84 (1972).
P. Samuel, Théorie algébrique des nombres, Hermann Ed (1971).

On pourra enfin consulter avec profit les ouvrages suivants :

D. A. Cox, Primes of the form x2+ny2, Wiley (1989).
D. A. Marcus, Number fields, Springer V. Universitext (1977). (Contient beaucoup d'exercices)
J.-P. Serre, Cours d'arithmétique, P.U.F. (1977) (Un classique)
I. Stewart & D. Tall, Algebraic number theory, Chapman & Hall (1972) (Plus élémentaire)
H. P. F. Swinnerton Dyer, A brief guide to algebraic number theory, L. M. S. student texts 50 (2001). (Pour aller plus loin, théorie du corps de classes)