Objectifs:
Notre point de départ est l'article de M. Kontsevich et
Y. Soibelman
Affine
structures
and non-archimedean analytic spaces.
Ce travail est une tentative pour comprendre certains aspects de la
symétrie miroir dont le
principe est
expliqué en détail par M. Gross dans son article
de survol
The SYZ
conjecture: from
real affine geometry to complex geometry.
Cependant indépendemment de ses applications à la
compréhension de la symétrie miroir, le papier de
Kontsevich et Soibelman présente de nouvelles constructions
extrêmement
intéressantes reliant géometrie complexe et
géometrie affine réelle, et de ce fait entretient des
liens étroits avec la
géométrie
tropicale.
Thèmes
Notre objectif est tout d'abord de nous familiariser avec les nombreux
objets présents dans le papier de Kontsevich et Soibelman avant
d'attaquer celui-ci à propement parler. Nous commencerons par
aborder les thèmes suivants:
- Géométrie des surfaces K3: espace de module et
dégénérescence
- Dualité étrange d'Arnold: lien avec les surfaces K3
- Espaces de Berkovich: dégénérescence
d'espaces analytiques et structures affines
Les prérequis nécéssaires
seront
minimaux. Tous les
thèmes mentionnés ci-dessus seront
développés en détail.
Programme
Lundi 15 Décembre
|
S. Boucksom
|
Dégénérescence
des K3
|
Lundi
22 Décembre
|
S.
Boucksom
|
Dégénérescence
des K3 |
Lundi 26 Janvier
|
P. Popescu-Pampu
|
Dualité étrange
d'Arnold et surfaces K3 [d'après Arnold, Pinkham, Nikulin,
Dolgachev...] |
Lundi 2 Février
|
P. Popescu-Pampu
|
Dualité étrange
d'Arnold et surfaces K3 [d'après Arnold, Pinkham, Nikulin,
Dolgachev...] |
| Lundi
16 Février |
P.
Popescu-Pampu |
Dualité étrange
d'Arnold et surfaces K3 [d'après Arnold, Pinkham, Nikulin,
Dolgachev...] |
| Lundi
30 Mars |
C.
Favre |
Structures affines
entières
sur les surfaces (exemples)
|
| Lundi
6 Avril |
C.
Favre |
Dégénérescence
des K3 et structures affines entières.
|
Lundi 4 Mai
|
C. Favre
|
Fibration lagrangienne et
structure affine.
|
| Lundi 18 Mai |
P.
Popescu-Pampu |
Variétés
spéciale-lagrangiennes
(d'après Hitchin)
|
Synopsis: affine structures
and non-archimedean analytic spaces
Donnons brièvement les grandes lignes du papier de
Kontsevich et Soibelman. On s'intéresse à une
famille holomorphe de surfaces complexes compactes
paramétrée par le disque épointé et
dégénérant sur une surface singulière
X
0. En d'autres termes, on regarde une surface
définie
sur le corps non-archimédien des germes de fonctions
méromorphes à l'origine dans le disque. A un tel
objet est associé naturellement un espace de Berkovich
X.
On peut coder les relations d'incidence entre les composantes
irréductibles de X
0 par un complexe simplicial de
dimension 2
réelle Δ dit complexe dual
et généralisant la construction du graphe dual d'une
collection de courbes sur une surface. Ce complexe est naturellement
plongé dans l'espace de Berkovich
X, et celui-ci se
rétracte sur
Δ.
L'idée fondamentale mise
en exergue par Kontsevich et Soibelman
est que Δ est naturellement muni
d'une structure affine entière singulière. La question
posée par les auteurs peut être alors
énoncée sous
la forme suivante:
Dans
quelle mesure la donnée d'un complexe simplicial de dimension 2
muni d'une structure
affine entière singulière permet de reconstruire une
famille de surfaces complexes compactes? |
Formulé dans ces termes, le problème est bien trop
général pour admettre une solution raisonnable. Cependant
la symétrie miroir indique que pour une catégorie
particulière de surfaces, celui-ci a une chance de trouver une
solution positive et non triviale.
Une surface K3 est une surface complexe compacte simplement connexe
dont le fibré canonique est trivial (par exemple une quartique
lisse de P³). Parmi leurs dégénérescences,
une
classe importante (dite de type III) consiste en celles dont le
complexe dual est une sphère S². Dans ce cas, on obtient
donc une
sphère munie d'une triangulation et d'une structure affine
entière avec 24 singularités d'un type particulier.
Le résultat principal de Kontsevich et Soibelman est le suivant.
Partant d'une sphère S² munie d'une structure affine
entière, il existe une famille à un
paramètre
de surfaces K3 dont le complexe dual est la sphère S² de
départ.
Quelques
références (non exhaustives):
| Symétrie
miroir et géométrie affine |
M. Kontsevich et Y. Soibelman:
Affine structures
and non-archimedean analytic spaces
M. Gross et B. Siebert:
| Surfaces
K3 et leur dégénérescence |
W. Barth, K. Hulek, C. Peters et A. Van de Ven:
Compact
complex surfaces (Chapitre VIII)
Géométrie
des surfaces K3: modules et périodes
R. Friedman et D.R. Morrison:
The
birational
geometry of degenerations.
R. Laza:
Triangulations of
the sphere and degenerations of K3 surfaces
| Dualité
étrange d'Arnold (symétrie miroir pour les surfaces K3) |
I. Dolgachev:
Mirror
symmetry for lattice polarized K3 surfaces
W. Ebeling:
Strange
duality, Mirror symmetry and the Leech lattice
W. Barth, K. Hulek, C. Peters et A. Van de Ven:
Compact
complex surfaces (Chapitre VIII
§22)