Cours
M2 Géométrie Différentielle et Riemannienne:
Horaires:
- Le Mardi: de 10h00 à 12h00 en salle 1C1
- Le Mercredi: de 11h00 à 13h00 en salle 5C3
- Le Jeudi: de 11h00 à 13h00 en salle 6C1
ATTENTION: le mardi 13 octobre le cours aura lieu à 9h30!
EXAMEN: le lundi 2 Novembre après-midi de 14h00 à
16h00 en salle 5D91
Quelques références
(sur le cours lui-meme):
- Les notes de cours
d'Olivier Biquard. Très dense.
- Michael Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential
Geometry, Vol I et II. Une référence volumineuse
présentant
souvent plusieurs preuves ou aspects du même résultat.
- Gallot-Hulin-Lafontaine: Riemannian Geometry. Un classique
contenant quelques exercices, et de nombreux complément au cours.
- De Carmo: Riemannian Geometry. Le plus accessible pour un
débutant.
Ce livre contient aussi quelques exercices.
- John Lee: Riemannian manifolds.
An introduction to curvature. Encore un très bel ouvrage de
référence
s'attachant tout particulièrement à la notion de courbure.
- M. Postnikov: Leçons de géométrie,
variétés
différentiables.
Autre références:
- John Milnor: Topology from the differential viewpoint. Un must
sur la théorie du degré.
- John Milnor: Morse Theory. Ou comment comprendre l'espace des
lacets d'une variété à partir de ses
géodésiques.
- John Hirsch: Differential Topology. Contient de nombreuses
informations sur les problèmes de plongements, de classification
des
fibrés vectoriels, et de théorie la
transversalité.
Travaux Dirigés:
Plan du cours:
- Cours 1: définition des variétés et exemples
(espaces projectifs)
- Cours 2: champ de vecteurs, fibré tangent, fibré
vectoriel
- Cours 3: dérivation, crochet de Lie,
théorème
de Frobenius
- Cours 4: produit tensoriel, algèbre extérieure,
grassmanienne
- Cours 5: tenseurs, dérivée de Lie, forme
extérieure,
définition cohomologie de DeRham, lemme de Poincaré
- Cours 6: orientation, intégration des formes,
théorème
de Stokes, dualité de Poincaré (référence:
Postnikov leçons 24, 25, 27)
- Cours 7: métrique riemannienne, exemples (l'espace
euclidien, la sphère, l'espace hyperbolique), introduction
historique à la courbure
- Cours 8: connexion sur les fibrés vectoriels, distribution
horizontale, transport parallèle, connexion de
Levi-Civita, géodésique
- Cours 9: connexion plate, courbure des connexions, courbure
riemannienne (sectionnelle, Ricci, scalaire), espace de courbure nulle
- Cours 10: géodésiques, exponentielle,
coordonnées
normales, lemme de Gauss, energie des chemins, théorème
de Hopf-Rinow
- Cours 11: variation de l'energie, champ de Jacobi,
caractérisation
des espaces à courbure sectionnelle constante
- Cours 12: théorème de Cartan-Hadamard et de
Bonnet-Myers, discussion sur les perspectives du cours.