MAT311: Analyse réelle et complexe (2009-2010)
(cours donné avec F. Golse et C. Viterbo)
Ce
cours constitue une initiation à l'analyse mathématique réelle et
complexe, dont il présente trois grandes directions : la théorie des
fonctions holomorphes (c'est-à-dire des fonctions dérivables d'une
variable complexe), l'intégration et l'analyse de Fourier, et enfin la
théorie des espaces de Hilbert, à raison d'environ 3 blocs par thème.
Les notions mathématiques étudiées seront motivées et illustrées par
leurs applications dans divers contextes scientifiques (mécanique des
fluides et géométrie des surfaces pour les fonctions holomorphes,
diffraction en optique pour l'analyse de Fourier, mécanique quantique
pour les espaces de Hilbert.) La partie la plus abstraite du cours est
sans doute la théorie de Lebesgue de l'intégration, qui sert de
fondation à la fois aux espaces de Hilbert et aux probabilités
présentées dans le cours de 1ère année de mathématiques appliquées et
qui sera illustrée principalement à travers ses applications en analyse
de Fourier. Un amphi sera consacré aux compléments de topologie
indispensables pour l'étude de l'intégration et des espaces de Hilbert.
La théorie des espaces de Hilbert qui mélange analyse et géométrie est
présentée en vue d'une première approche à la théorie spectrale, outil
essentiel pour résoudre des équations aux dérivées partielles comme
certains le verront dans les cours de MAT 431 ou MAT 432.
Cet enseignement ne fait appel à aucune connaissance mathématique
particulière autre que celles figurant aux programmes des classes
préparatoires. Il fournit un socle de compétences fondamentales en
analyse mathématique permettant d'aborder avec profit tous les
enseignements de mathématiques de 2ème année, notamment le module long
MAT431, ou le module court MAT432, qui en constituent le prolongement
naturel. Cet ensemble de cours vise à fournir aux élèves un fond
culturel mathématique solide qui leur ouvrira l'accès aux grands
domaines scientifiques : mathématiques fondamentales et appliquées,
mécanique, physique...
Nous mettrons autant que possible à jour le polycopié en fonction des remarques qui nous seront faites (notamment corrections de coquilles éventuelles). La version la plus récente est disponible en ligne.
Documents de cours
Poly actualisé
Feuille de PC 1.
Feuille de PC 2.
Feuille de PC 3.
Feuille de PC 4.
Feuille de PC 5.
Feuille de PC 6.
Feuille de PC 7 (séances 7 et 8).
Feuille de PC 8 (séances 8 et 9).
Devoir 1.
Correction du devoir 1.
Devoir 2.
Transparents de l'amphi 1 (Topologie).
Transparents de l'amphi 2
(Intégration I).
Transparents de l'amphi 3
(Intégration II).
Transparents de l'amphi 4
(Intégration III).
Transparents de l'amphi 5 (Espaces de Hilbert I).
Transparents de l'amphi 6 (Espaces de Hilbert II).
Transparents de l'amphi 7 (Fonctions holomorphes I).
Transparents de l'amphi 8 (Fonctions holomorphes II).
Transparents de l'amphi 9 (Fonctions holomorphes III).
