Séminaire CAESAR
de combinatoire additive
Séance du 5 septembre 2013
(14 heures, École polytechnique, salle de conférence):
Harald HELFGOTT
(E. N. S. Paris)
La conjecture ternaire de Goldbach
La conjecture ternaire de Goldbach (1742) affirme que tout nombre impair
plus grand que 5 est la somme de trois nombres premiers. À la
suite des pionniers (Hardy et Littlewood), Vinogradov prouva (1937) que tout
nombre impair plus grand qu'une certaine constante C satisfaisait
la conjecture.
Durant les trois quarts de siècle suivants, il y a eu une succession
de résultats réduisant C, mais seulement à
des niveaux beaucoup trop grands pour qu'une vérification
mécanique jusqu'à C soit possible (C>10^{1300}).
(Par ailleurs, les travaux de Ramaré et Tao ont résolu
des problèmes correspondants avec six et cinq nombres nombres
premiers au lieu de trois.)
Nous verrons comment une nouvelle approche au problème,
combinant des techniques modernes avec des nouvelles idées,
amène à de grandes
améliorations dans les bornes pour les arcs mineurs.
Les arcs majeurs
sont traités, eux aussi, avec une nouvelle approche, combinant des
estimations délicates provenant de l'analyse asymptotique avec des
calculs sur les zéros des fonctions L de conducteur
borné
(Platt) et des
bornes dont l'origine est le grand crible (Ramaré,
Selberg).
Mes travaux prouvent la conjecture pour tout nombre impair.
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