Séminaire CAESAR
de combinatoire additive
Séance du 9 février 2012
(14 heures, salle de conférence, CMLS, École
polytechnique):
Francois HENNECART
(ICJ, Saint-Étienne)
La fonction xy(x+y) est-elle dilatante ?
Soit R un anneau commutatif. Une fonction f de R X R dans R est dite dilatante
si pour tout sous-ensemble A de R, fini, le cardinal |f(A,A)| de
f(A,A)= {f(a,b) : a,b appartiennent à A} est
"considérablement plus gros" que |A|. Le sens que l'on donne
à cette expression dépend du contexte.
Nous aborderons
essentiellement deux situations: R pourra etre ou bien l'anneau des
réels ou bien le corps fini à p éléments.
Cette notion a été notamment
abordée par Elekes et Ronyai (2000) sur les réels et
par Bourgain en 2005 sur F_p. Ce dernier a ainsi prouvé que la fonction
x(x+y) est dilatante dans les corps finis. Plus tard, ses travaux ont
été étendus à d'autres fonctions, toutes
permettant à un certain point d'utiliser le
théorème
d'incidence dans les corps finis de Bourgain, Katz et Tao (2004).
Ce n'est pas le cas de la fonction c(x,y)=xy(x+y). L'exposé
a pour but de montrer des résultats de dilatation conditionnels
comme le suivant : si $|A+B|$ est "petit" alors |c(A,B)| est "gros".
Cet exposé est issu d'un travail commun avec Norbert
Hegyvári (Budapest).
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