8.3 Suite exacte des paires de variétés
Dans cette section on relie la cohomologie d'une variété, d'une sous-variété et de son complémentaire. La partie algébrique de la démonstration est strictement la même, elle consiste à invoquer le théorème 1, mais la partie géométrique demande un peu plus d'efforts et la théorie des voisinages tubulaires du chapitre 3.
On commence par montrer que toute forme différentielle sur s'étend en forme différentielle sur . Soit un voisinage tubulaire de fourni par le théorème 4 et une fonction plateau qui vaut au voisinage de et est à support dans . On note l'inclusion de dans et on considère l'application d'extension
Par construction est un inverse à droite de , qui est donc surjectif. On note le sous-espace vectoriel des formes différentielles qui s'annulent en restriction à . On a donc une suite exacte courte de complexes
Le théorème 1 fournit une suite exacte longue qui est presque celle annoncée, sauf que la cohomologie de intervient en lieu et place de celle de . Il suffit donc de montrer que l'inclusion de dans induit un isomorphisme en cohomologie.
Montrons d'abord l'injectivité. Soit une forme fermée appartenant à . On suppose que est nulle dans , c'est à dire qu'il existe nulle en restriction à et vérifiant . On veut montrer qu'on peut remplacer par à support compact dans (car alors est bien nulle dans ). Quitte à rétrécir le voisinage tubulaire considéré ci-dessus, on peut supposer que n'intersecte pas le support de . En particulier . Ainsi est une forme fermée sur . De plus sa restriction à est nulle. L'application qui écrase chaque fibre de sur sa base est une rétraction par déformation de sur . Donc la première partie du corollaire 8 assure qu'il existe telle que . On pose où est l'opérateur d'extension défini précédemment. On a bien et donc est dans .
Montrons maintenant la surjectivité. Soit une forme fermée appartenant à . On veut montrer qu'il existe une forme dans telle que est dans . Comme est fermée et , la deuxième partie du corollaire 8 fournit une forme dans telle que . On pose .
On donne maintenant un exemple d'application de cette suite exacte pour calculer la cohomologie à support compact de . On peut faire ce calcul de façon plus élémentaire (mais sans doute pas plus éclairante) et plus calculatoire. Mais on insiste ici sur la magie des suites exactes longues. À partir de la cohomologie d'un point, on a calculé la cohomologie de en utilisant l'invariance par homotopie. En utilisant la suite de Mayer-Vietoris, on a en a déduit la cohomologie des sphères. On utilise maintenant la suite des paires pour déduire de la cohomologie de et la cohomologie à support compact de . Dans toute cette succession de calculs on ne calcule jamais une dérivée ou une primitive d'une forme différentielle.