6.2 Intégration
Soit un ouvert de et une -forme à support compact dans . Pour tout mesurable , on définit comme l’intégrale sur de la fonction où les sont les vecteurs de la base canonique de .
Le lemme suivant, qui est une reformulation du théorème de changement de variable, justifie cette définition. Comme on va le voir, il permet l’intégration des formes différentielles sur les variétés.
elle coïncide avec l’intégration définie ci-dessus quand est un ouvert de
pour toute difféomorphisme préservant l’orientation entre deux variétés orientées et , .
Soit un atlas orienté de . Le théorème 1 fournit une partition de l’unité subordonnée au recouvrement . On note et on pose, pour toute -forme à support compact dans :
1
On va montrer que le nombre ainsi définit ne dépend si du choix de l’atlas ni de celui de partition de l’unité.
Soit donc un autre atlas orienté de et une partition de l’unité subordonnée. Par définition, la réunion de ces deux atlas est encore un atlas orienté, donc pour tous et , le changement de carte est un difféormophisme préservant l’orientation de dans . De plus on a sur .
On peut alors comparer les deux constructions de l’intégrale :
La formule de changement de variable découle de cette propriété par transport de structure. En effet, si est un difféomorphisme de dans alors tout atlas et partition de l’unité subordonnée sur fournit un atlas et une partition de l’unité que l’on peut utiliser pour calculer :
Le fait qu’on retrouve l’intégration définie sur est aussi une conséquence de la construction: il suffit de choisir l’atlas tautologique.
L’unicité est claire car les conditions demandées imposent la validité de l’équation None de départ.