2.3 Opérations sur les fibrés vectoriels

À toute opération usuelle sur les espaces vectoriels correspond une opération sur les fibrés vectoriels. Par exemple si et sont deux fibrés vectoriels sur une même base , on définit le fibré des applications linéaires de vers comme étant le fibré vectoriel de fibre au-dessus de tout point de la base. La structure différentiable faisant de un fibré vectoriel est définie par la méthode de recollement (Proposition 4 comme pour le fibré tangent.

Par exemple, le fibré dual d’un fibré vectoriel est définit comme où est l’abréviation du fibré vectoriel trivial . L’exemple le plus important de cette construction est le fibré cotangent, le dual du fibré tangent. Il est noté plutôt que pour plus de concision.

Un sous-fibré d’un fibré vectoriel est une sous-variété telle que, pour tout dans , soit un sous-espace vectoriel de . On peut vérifier que la restriction à de la projection est alors elle même un fibré vectoriel. En pratique on peut considérer que cette dernière propriété fait partie de la définition.

À tout sous-fibré de est associé le fibré quotient définit ponctuellement par et muni d’une structure de fibré vectoriel par la méthode du recollement.

Un fibré se tire en arrière par toute application . Le fibré induit est défini comme le sous-fibré de défini par .