Topologie différentielle

5.1 Fonctions de Morse

On commence par le célèbre « lemme de Morse ».

Théorème 1

Soit une fonction ayant un point critique non-dégénéré en l’origine : et est non-dégénérée. Il existe un difféomorphisme entre deux voisinages de l’origine dans tel que

où est l’indice de .

Démonstration

Le lemme crucial est que l’action de sur les formes bilinéaires symétriques admet des sections locales au voisinage de toute forme non-dégénérée.

Lemme 2
Soit un -ev de dimension finie et l’espace des formes bilinéaires symétriques sur . Toute forme ₀ dans non-dégénérée admet un voisinage ouvert et une application telle que, pour tout dans .

Démonstration
On pose . On dérive cette fonction en l’identité grâce au calcul :
qui montre que . Le noyau de cette différentielle est constituée des endomorphismes -antisymétriques tandis qu’elle induit un isomorphisme de l’espace des endomorphismes -symétriques sur (il est surjectif car est supposée non-dégénérée). Le théorème d’inversion local appliqué à la restriction de à fournit l’inverse demandé. Comme et que est ouvert, on peut, quitte à restreindre , supposer que est contenu dans .

On revient maintenant au lemme de Morse. D’après la formule de Taylor avec reste intégral, on a où

En particulier ½ est non-dégénérée (et de même indice que ). Le lemme précédant fournit alors une application d’un voisinage de l’origine vers vérifiant . Ainsi où . Comme la différentielle de en l’origine vaut qui est inversible, il existe un difféomorphisme entre voisinages de l’origine tel que . Par ailleurs le théorème d’inertie de Sylvester fournit une base dans laquelle a la forme annoncée. La composée de avec le changement de base correspondant donne le recherché.

Lemme 3
Une fonction est de Morse si et seulement si sa différentielle est transversale sur la section nulle . Si est d’indice alors .

Densité des fonctions de Morse par Thom comme chez François.

Proposition 4
L’ensemble des fonctions de Morse sur une variété compacte sans bord est un ouvert dense dans l’ensemble des fonctions de classe . La somme alternée des nombres de points critique est la caractéristique d’Euler de .