3.4 Orientations

On rappelle qu’une orientation d’un espace vectoriel réel de dimension finie strictement positive est une classe d’équivalence de bases pour la relation qui lie deux bases si le déterminant de l’une dans l’autre est positif. Par convention, une orientation de l’espace vectoriel de dimension zéro est un signe . Chaque espace vectoriel de dimension finie possède exactement deux orientations. Par définition, un endomorphisme préserve l’orientation s’il envoie une base sur une base équivalente. Cette notion est indépendante du choix d’une orientation. Par définition, un difféomorphisme entre ouverts connexes d’un espace affine préserve l’orientation si sa différentielle (en un point quelconque) préserve l’orientation.

Un variété est dite orientable si elle admet un atlas orienté. Toute variété orientable correspond à exactement deux variétés orientées.

En chaque point d’une variété orientée , l’espace tangent est orienté. En effet, la construction de la structure différentiable du fibré tangent dans le chapitre 2 montre que chaque carte dont le domaine contient fournit une identification entre et . Ce dernier possède une orientation canonique et la définition d’atlas orienté montre que l’orientation qu’elle induit sur ne dépend pas du choix de carte.

Orientation du bord.

Sous-variété orientée d’une variété orientée, fibré normal.