Topologie différentielle

6.3 Dérivée extérieure et formule de Stokes

6.3.1 Dérivée extérieure sur un espace affine

Dans cette section on travaille sur un espace affine (réel) de direction et de dimension . À tout point de et tout -uplet de vecteurs , on associe le parallélotope

Les constructions de la section 6.2 ne permettent pas vraiment d’intégrer sur (à cause des coins, et des dégénérescence qui arrivent lorsque la famille n’est pas libre). On définit donc l’intégrale d’une -forme sur comme l’intégrale sur , de la forme tirée en arrière par , qui est défini sur un voisinage ouvert de .

De même on définit, pour tout -forme  :

Théorème 5
Soit une forme différentielle de degré sur un ouvert de . Pour tout dans et tout -uplet de vecteurs , la limite suivante existe :
De plus est une forme différentielle de degré sur . Pour tout repère sur , on peut écrire et on a alors :

Démonstration

On note et . On écrit la forme en coordonnées: où et chaque est une fonction de dans qui dépend de .

On alors et on calcule

où est fournit par le théorème des accroissements finis (en dimension ). On peut passer à la limite sous l’intégrale (le domaine d’intégration est compact et tout est uniformément continu) pour trouver

2

On a donc démontré l’existence de la limite. Pour montrer qu’on a définit une -forme, on montre la formule en coordonnées.

On note provisoirement l’opérateur définit sur par . On vérifie facilement que, pour toute application , .

On remarque que le membre de droite de l’équation None est la valeur de . Le calcul se poursuit alors en :

Unknown environment 'bgroup'

On a donc l’égalité annoncée entre et . Or est manifestement une -forme, donc le théorème est démontré.

Comme dans le cas de la dimension 1, la clef de voute du lien entre intégration et dérivation est le théorème des accroissements finis.

Lemme 6
Pour tout parallélotope et toute -forme sur , il existe un point dans tel que

Démonstration

L’idée est de se ramener à une suite de parallélotopes de plus en plus petits qui convergent vers le point recherché.

Sous-lemme 7
Pour tout parallélotope et toute -forme sur , il existe dans tel que le parallélotope soit inclus dans et vérifie

Démonstration
On découpe en parallélotopes dont les vecteurs directeurs sont les . Plus précisément, à chaque dans , on associe et le parallélotope . On a qui est la moyenne des . Si aucun des ne convient il existe et tels que
On pose alors pour . Le théorème des valeurs intermédiaires assure l’existence d’un tel que convient.

Le sous-lemme précédant fournit par récurrence une suite de points de et des parallélotopes inclus dans et vérifiant . On note le point limite des (fournit par le théorème des fermés emboîtés). En posant , qui tend vers zéro, on a

Le premier corollaire du théorème des accroissements finis est la formule de Stokes sur un parallélotope.

Corollaire 8
Pour toute forme sur un ouvert de et tout parallélotope dans :

Démonstration
Par définition de l’intégration de , pour toute suite de partitions de et de points , on a . Si on choisit pour les points fournis par le théorème des accroissements finis, on trouve .

La preuve ci-dessus demande des clarifications sur les sommes de Riemann.

La formule de Stokes sera étendue aux variétés à bord et à coins dans la section suivante mais on peut déjà en déduire le corollaire suivant.

Corollaire 9
.

Démonstration
Pour toute forme de degré et tous vecteurs , …, .
où la première égalité provient de la définition de la dérivée extérieure tandis que la deuxième provient de la formule de Stokes.

tiré en arrière

6.3.2 Dérivée extérieure sur une variété

définition

theorème de Stoke général (forme différentiel lisse de degré maximal sur une variété à bord).