2.2 Foncteur tangent
Soit une variété et un point de . On note l’ensemble des courbes lisses passant par à :
Toute application lisse entre deux variété et induit, pour chaque de , l’application de vers qui envoie sur .
On dit que deux éléments et de ont même vitesse en s’il existe une carte dont le domaine contient et pour laquelle . Le théorème de dérivation des fonctions composées montre que cette propriété est indépendant du choix de la carte . Le même théorème montre que cette relation est préservée par pour toute application .
L’inusable théorème de dérivation des fonctions composées est alors promu en :
On dit que est un foncteur, il transforme à la fois les objets que sont les variétés et les morphismes que sont les applications lisses entre variétés, d’une façon compatible avec la composition des morphismes.
L’unicité est claire car .
L’existence est basée sur la méthode de recollement de la proposition 4. Partant d’un atlas et de ses changements de cartes , on considère les données de recollement de fibrés envoyant sur . La relation de cocycle pour les découle immédiatement de celle vérifiée par les et de la formule de dérivée des fonctions composées. L’exemple 7 montre que le fibré vectoriel ainsi obtenu est en bijection avec et vérifie les propriétés annoncées.
Un champs de vecteurs sur une variété est une section de . Le théorème de Cauchy-Lipschitz à paramètres, appliqué dans des cartes, montre que, pour tout champ de vecteur , il existe une fonction et une application définie sur et vérifiant