7.1 Rudiments d’algèbre homologique

Dans cette section, désigne un anneau commutatif unitaire fixé. En pratique dans ce cours, on aura besoin uniquement des cas ou . On rappelle qu’un -module est l’analogue d’un -espace vectoriel, cette dernière terminologie étant réservée aux corps.

On note immédiatement que la condition est équivalente à , de sorte que la définition de la cohomologie a bien un sens.

Un morphisme de complexes entre deux complexes et est une famille d’applications linéaires vérifiant pour tout , i.e. le diagramme suivant est commutatif : Cette condition implique immédiatement que passe au quotient en famille d’applications de dans .

Une homotopie entre morphismes de complexes et est une famille d’applications linéaires vérifiant . Les morphismes intervenant dans cette égalité apparaissent sur le diagramme suivant, qui n’est pas commutatif :

On dit que et sont homotopes s’il existe une homotopie entre eux.