4.1 Transversalité et images réciproques
Définition
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Si est transversale sur alors est une sous-variété de de même codimension que dans . La différentielle de induit un isomorphisme de sur .
Démonstration
Soit un point de et son image par . D’après la proposition 7, il existe un ouvert contenant et une submersion tels que . Soit l’ouvert . Comme , l’autre implication de la proposition 7 assure qu’il suffit de vérifier que est une submersion en tout point de . C’est une simple affaire d’algèbre linéaire.
Soit , et des espaces vectoriels, et des applications linéaires. Si est surjective et alors est surjective et induit un isomorphisme .
Démonstration
On note la projection de sur et l’application induite par de sur . L’hypothèse de surjectivité assure que est un isomorphisme. En particulier donc induit une application injective de sur . Comme , et cette application est aussi surjective.
Dans la situation de la proposition, pour tout dans , est surjective et tandis que , ce qui permet bien d’appliquer le lemme.
On dit que deux sous-variétés et de sont transversales si en tout point de . Cela équivaut à dire que l’inclusion de dans est transversale sur . En particulier l’intersection est alors une sous-variété de , de codimension égale à la somme des codimensions de et .