3.3 Variétés à bord

Il est naturel d’étendre un peu la classe des variétés en autorisant la présence d’un bord. Ainsi on veut pouvoir considérer la boule unité fermée de comme une variété à bord, de bord la sphère unité.

Pour cela on ajoute comme modèle les ouverts de . Par définition, le bord de est et le bord d’un ouvert de est .

Un difféomorphisme entre ouverts et de est une bijection qui à la restriction à d’un difféomorphisme entre des voisinages ouverts de et dans .

Le lemme précédant reste vrai pour les homéomorphismes mais sa démonstration est plus difficile.

Un atlas de variété à bord sur un espace topologique est une famille où les forment un recouvrement ouvert de , les sont des ouverts de , les sont des homéomorphismes et les changements de cartes sont des difféomorphismes. Deux tels atlas sont équivalents si leur réunion est encore un atlas de variété à bord.

Le lemme précédant montre que le bord d’une variété à bord est bien défini.

On définit les applications lisses et difféomorphisme entre variétés à bord de la même façon que dans le cas sans bord. De même le fibré a une définition analogue à celui des variétés sans bord mais contient en plus les courbes vérifiant . Ainsi l’espace tangent à en un point de son bord est bien un espace vectoriel et pas une moitié d’espace vectoriel.

Le bord d’une variété à bord est une sous-variété (sans bord), pour une extension évidente de la définition de sous-variété. De même on peut définir les sous-variétés à bord d’une variété à bord. On dit qu’une sous-variété est proprement plongée dans si l’inclusion de dans est propre au sens topologique (l’image réciproque de tout compact est compacte), si et en tout de . Cette dernière condition reviendra dans le chapitre suivant.