1.1 Variétés et sous-variétés
Une variété topologique de dimension est un espace topologique séparé et paracompact dont tout point admet un voisinage homéomorphe à un ouvert de .
Remarquons tout de suite que le cœur de cette définition est l’hypothèse d’homéomophisme local avec . Les hypothèses de séparation et de paracompacité sont techniques, elles visent principalement à garantir l’existence de partitions de l’unité (théorème 1 du chapitre 3). Elles peuvent être ignorées puis remplacées, au moins psychologiquement, par la conclusion de ce théorème. En pratique, la paracompacité est toujours gratuite, mais la séparation doit parfois être vérifiée soigneusement.
Un homéomorphisme d’un ouvert d’une variété topologique vers un ouvert de est appelé carte de . Un atlas de est une famille de cartes dont les domaines de définitions recouvrent .
Soit un atlas d’une variété topologique. Les changements de cartes de sont les homéomorphismes . Ce sont des homéomorphismes entre ouverts de .
Un atlas lisse est un atlas dont tous les changements de cartes sont des difféomorphismes de classe . Deux atlas lisses sont équivalents si leur réunion est encore un atlas lisse.
Il est important de noter que qu’une variété topologique est un espace topologique vérifiant certaines propriétés tandis qu’une variété différentiable est un espace topologique muni d’une structure supplémentaire. On montre facilement qu’un espace topologiques peut porter deux structures de variétés différentiables différentes. Même une fois mis en place la notion d’isomorphismes de variétés différentiables, on peut montrer, difficilement, qu’un même espace topologiques peut porter plusieurs structures de variétés différentiables non isomorphes.
Ceci étant dit, il est quasiment systématique de sous-entendre la structure différentiable dans les notations. En particulier on appelle simplement carte de toute carte faisant partie d’un atlas lisse représentant la structure différentiable de . Dans toute la suite, le mot variété (sans précision) désigne une variété différentiable de classe .
La proposition suivante est évidente mais cruciale car elle fournit de nombreux exemples de variétés. On montrera même au chapitre 3 que, en un sens, elle les fournit tous.