1.3 Quotients et recollements
Le but de cette section est de permettre la construction d’exemples de variétés sans revenir à la définition et sans savoir à les plonger a priori comme sous-variétés d’exemples déjà connus.
1.3.1 Quotient par une action propre et libre
On rappelle qu’une action d’un groupe d’un groupe sur un ensemble est un morphisme de groupes de vers le groupe des bijections de . Lorsque cela ne créé pas d’ambiguité, on note simplement l’image d’un élément de par pour dans . L’orbite d’une partie de sous l’action de est l’ensemble . On note l’orbite du singleton . Une action de groupe définit une relation d’équivalence sur : deux points et sont équivalents s’il existe dans tel que , autrement dit, si est dans l’orbite de . Le quotient de par cette relation d’équivalence est noté . À tout point est associté son stabilisateur sous l’action de : , il s’agit d’un sous-groupe de . On dit que l’action de sur est libre si tous les points de ont un stabilisateur trivial (i.e. réduit à l’élément neutre de ).
Le théorème suivant permet de construire de nombreux exemples de variétés différentiables qui ne sont pas naturellement des sous-variétés d’exemples déjà connus. L’hypothèse de propreté est cruciale. L’hypothèse de liberté peut être affaiblie mais fournit déjà un énoncé utile.
On montre d’abord que le quotient est un espace topologique séparé. Soient et deux éléments distinct de . Par définition, n’est pas dans l’ensemble du lemme 10. Comme ce dernier est fermé, il existe des voisinages et de et respectivement tels que n’intersecte pas . Par définition de , cela signifie que n’intersecte pas . Par suite et ne s’intersectent pas et et sont des voisinages disjoints de et .
La paracompacité de est claire. Un raisonnement analogue à celui conduisant à la séparation montre que tout dans admet un voisinage ouvert déplacé par tous les éléments non-triviaux de . La restriction de à est alors un homéomorphisme, dont on note l’inverse. Quitte à rétrécir , celui-ci est contenu dans le domaine d’une carte. On a donc un atlas pour et des homéomorphismes tels que . L’ensemble des est alors un atlas de variété topologique pour . Pour chaque composante de , il existe un élément de tel que sur . Donc est un difféomorphisme.
L’unicité de la structure différentiable sur découle de la remarque 6. Soient et deux structures différentiables sur pour lesquelles la projection est un difféomorphisme local. Si est une section locale de comme plus haut. Alors est un difféomorphisme de vers et est lisse de vers . Donc est lisse de vers . Par symmétrie de l’argument, l’identité est aussi lisse de dans .
1.3.2 Recollements
La définition de variété présente naturellement toute variété comme espace obtenu en recollant des ouverts de . La définition suivante formalise cette idée et permet d’aller plus loin en recollant des variétés plus complexes.
On note la restriction à de la projection canonique et on note son image.
L’unicité découle de la remarque 6. Suppons que et soient deux structures de variétés lisses comme dans l’énoncé. Par symétrie de la situation, il suffit de montrer que l’identité est lisse de dans . Il s’agit d’un énoncé local. Tout point de est contenu dans un . Par hypothèse, ces sont ouverts et est un difféomorphisme de sur et . L’identité de est donc la composée des deux applications lisses et .
Pour l’existence, on considère sur chaque un atlas et on équipe de l’atlas réunion des . Il s’agit bien d’un atlas lisse car les sont des difféomorphismes.