4.4 Théorie de l’intersection

Soit une variété orientée et une sous-variété orientée compacte sans bord de . Soit une variété orientée compacte sans bord et . On suppose que et que est transversale sur . En particulier est un sous-ensemble fini de . Pour chaque dans cet ensemble, on a un isomorphisme . Comme et sont orientées, l’espace vectoriel est orienté. On pose selon que préserve ou renverse l’orientation et :

On note immédiatement que change de signe si on change l’orientation d’un nombre impair de variétés parmi , et .

Théorème 9

Le nombre d’intersection est invariant par homotopie: si et sont deux applications de dans transversales sur et homotopes alors .

En particulier, on peut définir pour une application non transversale sur , comme pour n’importe quel homotope à et transversale sur .

Le point crucial est que le nombre d’intersection est nul pour toute application qui s’étend à une variété compacte dont le bord est :

Lemme 10

Soit

une variété compacte à bord et

. On suppose que

et que

sont toutes deux transversales sur

. Alors

Démonstration

Les hypothèses de transversalité et de compacité assurent que

est une sous-variété compacte de

qui est transversale au bord de

et dont le bord est exactement

. De plus les hypothèses de dimension assurent que

est de dimension 1. Ainsi

est constitué d’un nombre fini de cercles dans l’intérieur de

et d’un nombre fini d’arcs reliant deux par deux les points de

. De plus chaque arc est orienté et sort de

à une extrémité tandis qu’il rentre à l’autre. Ceci entraîne que les deux extrémités contribuent à

avec des signes opposés.

Démonstration du théorème 9

L’hypothèse d’homotopie signifie qu’il existe une application continue

telle que

. Le théorème 5 permet de suppose que

est lisse (sans changer

). Le théorème de transversalité de Thom permet de supposer que

est transversale sur

, toujours sans changer

, ce qui assure

est elle aussi transversale sur

. Le lemme montre alors que

. Or l’orientation induite par

sur

est l’orientation de départ sur

et l’orientation opposée sur

. Ainsi

et le théorème est démontré.

Dans le cas particulier où est l’inclusion d’une sous-variété orientée , on note et on l’appelle nombre d’intersection entre et . Si et sont transversales alors la valeur absolue de est majorée par le nombre de points de mais, au contraire de ce dernier, est invariant par isotopie de ou .

Définition 11

La caractéristique d’Euler d’une variété compacte sans bord est le nombre d’intersection

où

est vue comme la section nulle de

Définition 12

Soit

deux variétés connexes, compactes, sans bord et de même dimension. Le degré d’une application continue

est le nombre d’intersection

où

est un point quelconque de

Ainsi, pour toute valeur régulière de , le degré de est le nombre de pré-images de comptées positivement (resp. négativement) là où préserve (resp. renverse) l’orientation. Cependant il n’est pas complètement clair que ce nombre soit indépendant du choix de .

Lemme 13

Dans la définition 12, le nombre obtenu est indépendant du choix de

dans

Démonstration

Soit et deux points de . Le théorème de transversalité permet de perturber pour la rendre transversale sur et .

Le point clef est alors qu’il existe une homotopie de difféomorphismes de entre l’identité et une difféomorphisme envoyant sur . En effet, si on fixe , l’ensemble des pour lesquels l’affirmation est vraie est ouvert et fermé (il suffit de démontrer l’affirmation lorsque est une cube dans ) et est supposée connexe.

Ainsi, le théorème 9 donne . Mais ce dernier n’est autre que car est un difféomorphisme préservant l’orientation.

L’invariance des nombres d’intersection par homotopie entraîne immédiatement l’invariance du degré par homotopie.