7.2 Cohomologie de de Rham
On a vu que la dérivée extérieure envoie les -formes sur les -formes et que son carré est nul.
Définition
3
La cohomologie de de Rham d’une variété est la cohomologie du complexe , muni de la dérivée extérieure.
La formule de naturalité, , montre que toute application entre variétés induit un morphisme de complexes de de Rham , et donc un morphisme entre les cohomologie de de Rham . Ces morphismes sont évidemment compatibles avec la composition des applications entre variétés. Ainsi chaque est un foncteur de dans .
Théorème
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Si sont homotopes alors les morphismes qu’ils induisent en cohomologie de de Rham le sont aussi. En particulier et induisent la même application en cohomologie.
La démonstration de ce théorème passe par l’étude des formes différentielles sur un produit . Toute -forme sur s’écrit de façon unique où chaque est une -forme sur et chaque est une -forme sur .
Lemme
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Pour toute -forme sur , on a: